После большого количества царапин на голове мы нашли виновника: у нашей веб-страницы есть главная декларация, и в ней был атрибут Async = "true". Если установить значение false, это решит нашу проблему, и теперь при экспорте будет создан файл .WebPart, который мы можем импортировать
<%@ Page MasterPageFile="~/Site.Master" ... Async="false" %>
Не уверен, почему Async = "true" нарушает функцию, но, возможно, это поможет другой бедной душе дорога.