Использование URL Monikers API вместо попытки установить связь с приложением InternetExplorer может быть проще. Это было специально сделано для Pastebin? Потому что на самом деле это не работает, насколько я знаю. Но я думаю, вы можете использовать другой ?
Option Explicit
Private Declare PtrSafe Function URLDownloadToFileA Lib "URLMON" _
(ByVal pcaller As Long, _
ByVal szurl As String, _
ByVal szFileName As String, _
ByVal dwReserved As Long, _
ByVal lpfnCB As Long) As LongPtr
Sub Example()
Dim Download$
On Error GoTo ErrorHandler
Download = URLDownloadToFileA(0, "myURL", "C:\Users\Name\Downloads\test.txt", 0, 0)
Exit Sub
ErrorHandler:
MsgBox Err.Number & " " & Err.Description
End Sub