Согласно документам :
Если директива proxy_pass указана с URI, то когда запрос передается на сервер, часть нормализованного URI запроса сопоставление местоположения заменяется на URI, указанный в директиве
Таким образом, ваш блок местоположения должен выглядеть следующим образом:
location /api/client/ {
proxy_pass http://cloudflare.anotherserver.com/;
}