Это действительно может быть сделано за линейное время, O (n) и O (n) дополнительное пространство. Я предполагаю, что входные массивы являются символьными строками, но это не обязательно.
Наивный метод - после сопоставления k равных символов - находит символ, который не соответствует и go back k-1 единиц в a , сбросьте индекс в b и затем начните процесс сопоставления оттуда. Это ясно представляет O (n²) наихудший случай.
Чтобы избежать этого процесса обратного отслеживания, мы можем заметить, что возврат назад бесполезен, если мы не встретили символ b [0] во время сканирование последних k-1 символов. Если бы мы действительно нашли этот символ, то возврат к этой позиции был бы полезен только в том случае, если бы в подстроке размером k у нас было повторение periodi c.
Например, если мы посмотрим на подстроку "abcab c" где-то в a , а b - это "abcabd", и мы обнаружим, что последний символ b не совпадает, мы должны учитывать, что успешное совпадение может начинаться со второй буквы "a" в подстроке, и мы должны переместить наш текущий индекс в b назад, прежде чем продолжить сравнение.
Идея состоит в том, чтобы затем выполнить некоторую предварительную обработку на основе строки b для регистрации обратных ссылок в b , которые полезны для проверки в случае несоответствия. Так, например, если b равно "acaacaacd", мы могли бы идентифицировать эти обратные ссылки на основе 0 (ставить под каждым символом):
index: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
b: a c a a c a a c d
ref: 0 0 0 1 0 0 1 0 5
Например, если у нас есть , равный "acaacaaca", первое несоответствие происходит с последним персонажем. Приведенная выше информация затем сообщает алгоритму go обратно в b для индекса 5, поскольку "acaa c" является распространенным. И затем, изменив только текущий индекс в b , мы можем продолжить сопоставление при текущем индексе a . В этом примере совпадение с последним символом завершается успешно.
С этим мы можем оптимизировать поиск и убедиться, что индекс в a всегда может двигаться вперед.
Вот реализация этой идеи в JavaScript с использованием самого базового c синтаксиса только этого языка:
function overlapCount(a, b) {
// Deal with cases where the strings differ in length
let startA = 0;
if (a.length > b.length) startA = a.length - b.length;
let endB = b.length;
if (a.length < b.length) endB = a.length;
// Create a back-reference for each index
// that should be followed in case of a mismatch.
// We only need B to make these references:
let map = Array(endB);
let k = 0; // Index that lags behind j
map[0] = 0;
for (let j = 1; j < endB; j++) {
if (b[j] == b[k]) {
map[j] = map[k]; // skip over the same character (optional optimisation)
} else {
map[j] = k;
}
while (k > 0 && b[j] != b[k]) k = map[k];
if (b[j] == b[k]) k++;
}
// Phase 2: use these references while iterating over A
k = 0;
for (let i = startA; i < a.length; i++) {
while (k > 0 && a[i] != b[k]) k = map[k];
if (a[i] == b[k]) k++;
}
return k;
}
console.log(overlapCount("ababaaaabaabab", "abaababaaz")); // 7
Несмотря на то, что есть вложенные циклы while, они не имеют в общей сложности больше итераций, чем n . Это потому, что значение k строго уменьшается в теле while и не может стать отрицательным. Это может произойти только тогда, когда k++ было выполнено столько раз, чтобы дать достаточно места для такого уменьшения. Таким образом, в целом, не может быть больше выполнений тела while, чем k++ выполнений, и последнее явно O (n).
В завершение, здесь вы можете найти тот же код как указано выше, но в интерактивном фрагменте: вы можете ввести свои собственные строки и просмотреть результат в интерактивном режиме:
function overlapCount(a, b) {
// Deal with cases where the strings differ in length
let startA = 0;
if (a.length > b.length) startA = a.length - b.length;
let endB = b.length;
if (a.length < b.length) endB = a.length;
// Create a back-reference for each index
// that should be followed in case of a mismatch.
// We only need B to make these references:
let map = Array(endB);
let k = 0; // Index that lags behind j
map[0] = 0;
for (let j = 1; j < endB; j++) {
if (b[j] == b[k]) {
map[j] = map[k]; // skip over the same character (optional optimisation)
} else {
map[j] = k;
}
while (k > 0 && b[j] != b[k]) k = map[k];
if (b[j] == b[k]) k++;
}
// Phase 2: use these references while iterating over A
k = 0;
for (let i = startA; i < a.length; i++) {
while (k > 0 && a[i] != b[k]) k = map[k];
if (a[i] == b[k]) k++;
}
return k;
}
// I/O handling
let [inputA, inputB] = document.querySelectorAll("input");
let output = document.querySelector("pre");
function refresh() {
let a = inputA.value;
let b = inputB.value;
let count = overlapCount(a, b);
let padding = a.length - count;
// Apply some HTML formatting to highlight the overlap:
if (count) {
a = a.slice(0, -count) + "<b>" + a.slice(-count) + "</b>";
b = "<b>" + b.slice(0, count) + "</b>" + b.slice(count);
}
output.innerHTML = count + " overlapping characters:\n" +
a + "\n" +
" ".repeat(padding) + b;
}
document.addEventListener("input", refresh);
refresh();
body { font-family: monospace }
b { background:yellow }
input { width: 90% }
a:
b: