Вы не можете получить доступ к компоненту v-card из-за отложенной загрузки в vuetify 2.
Если вы уверены, что вам нужен доступ к компоненту v-card на смонтированном этапе, вы можете добавить Стремится Пропустить в компонент V-диалога.
Этот код работает:
<template>
<v-dialog ref="mydialog" eager>
<v-card ref="mycard">
</v-card>
</v-dialog>
</template>
<script>
export default {
mounted() {
console.log(this.$refs.mycard);
}
}
</script>