Вам необходимо вернуть true, если выполняются оба условия, а не только одно из них.
function validateFormInput () {
let yourUsernameRegEx = new RegExp(...);
let yourMailRegEx = new RegExp(...);
if (!document.addform.First_name.value.match(yourUsernameRegEx)) {
// Other code here (alerts, popups, etc.) ...
return false;
}
if (!document.addform.email.value.match(yourMailRegEx)) {
// Other code here (alerts, popups, etc.) ...
return false;
}
return true;
}