Установить наблюдателя состояния аутентификации и получить данные пользователя:
firebase.auth().onAuthStateChanged(function(user) {
if (user) {
// User is signed in.
var displayName = user.displayName;
var email = user.email;
var emailVerified = user.emailVerified;
var photoURL = user.photoURL;
var isAnonymous = user.isAnonymous;
var uid = user.uid;
var providerData = user.providerData;
// ...
} else {
// User is signed out.
// ...
}
});