Согласно документации предполагается, что она будет проходить в разных сеансах, включая закрытие и повторное открытие браузера. Отметьте здесь .
Я подозреваю, что вы, возможно, перезаписываете ключ. Таким образом, идея состоит в том, чтобы проверить, есть ли в хранилище ключ, и затем заполнить его, как предложено в документация.
Также в режиме отладки веб-флаттера вы открываете новый профиль экземпляра chrome, если я прав, у которого нет доступа к хранилищу другого экземпляра. Поправьте меня, если я ошибаюсь.
Вы можете проверить это, открыв URL в вашем обычном экземпляре браузера вместо того, который открывается при помощи flutter, закрывая и открывая его снова.
Существует несколько другие посты в SO, в которых говорится об этом поведении локального хранилища и возможных причинах.