LogCat не появится для проекта флаттера и, по-видимому, недоступен для включения в текущей версии Android Studio. Если вы откроете проект Android в другом окне, в этом окне будет LogCat, который можно подключить к устройству, которое вы пытаетесь отладить.
AVD Manager не имеет пункта меню в Flutter, но доступен из значка на панели инструментов. См. Рисунок.
Также стоит проверить DevTools, который открывается в браузере, в качестве дополнительного (не LogCat) ресурса отладки. Кнопка для этого находится в окне запуска при запуске приложения.