Сообщение об ошибке действительно говорит само за себя:
SqlException was unhandled by user code
Message="Login failed for user 'domain\username'."
Source=".Net SqlClient Data Provider" ErrorCode=-2146232060 Class=14
Из этого вы должны увидеть, что пользователь, которого вы используете для подключения к вашему Серверу B, очевидно, не имеет учетной записи на этом втором сервере.
Это никак не связано с ролью вашего приложения или чем-то еще - ваш пользователь "домен \ имя пользователя" просто не имеет прав доступа ко второму серверу.
Добавьте логин для этого пользователя и предоставьте ему доступ и необходимые разрешения для необходимых баз данных, и у вас все будет хорошо.
Марк