Я боролся немного больше после принятого решения. Первоначально я получал полный массив заказов, после итерации по этому массиву я нашел то, что искал.
$user = wp_get_current_user();
$args = array(
//'customer_id' => $user->ID
'customer_id' => 6
);
$orders = wc_get_orders($args);
foreach($orders as $order){
$order_id = $order->get_id();
echo $order_id . "<br/>";
}
Этот foreach позволил получить доступ к требуемому идентификатору order_id.