Это простая задача, которую можно решить, вы можете получить текущую дату из системы, а затем получить текущий месяц на Kotlin языке:
val calendar = Calendar.getInstance()
// will return a 0 (January) to 11 (December) number
val currentMonth = calendar[Calendar.MONTH]
// set your spinner to current item
mySpinner.setSelection(currentMonth)
или в Java:
Calendar calendar = Calendar.getInstance();
int currentMonth = calendar.get(Calendar.MONTH);
mySpinner.setSelection(currentMonth);
Вы можете установить это после настройки, например, Spinner.