Если вы запускаете событие click, используемое программно, следует использовать что-то вроде:
angular.element('#buttonID').triggerHandler('click');
Чтобы применить его к своему коду, вы должны добавить свойство id к вашей кнопке, в результате чего будет что-то вроде:
<slick dots="true"
infinite="true"
speed="300"
slides-to-show="4"
touch-move="false"
slides-to-scroll="1"
variable-width="false"
class="slider slick-slider"
responsive="plans_slick_responsive">
<div class="list-item" ng-repeat="plan in plans">
<button class="btn slick-btn select-plan"
ng-click="select_plan(plan)"
id="buttonID"
ng-model="plan">
<span>Select Plan</span>
</button>
</div>