Я не эксперт, когда дело доходит до расширений браузера, поэтому у кого-то еще может быть лучшее решение, однако, возможно, вы могли бы сохранить идентификатор вкладки в localStorage или sessionStorage всякий раз, когда открываете всплывающее окно на вкладке, а затем всякий раз, когда вы открываете всплывающее окно, вы можете проверить, найден ли идентификатор в локальном хранилище / хранилище сеансов, чтобы узнать, был ли он уже открыт ранее?
Возможно, вам придется выполнить проверку внутри скрипта содержимого (я не уверен, что именно может быть запущено из самого всплывающего окна), но тогда вы можете запретить запускать его дважды, если он запускался раньше.
Здесь вы можете увидеть, как получить идентификатор вкладки.