Попробуйте это:
webView.getSettings().setDomStorageEnabled(true); // Add this
webView.setWebViewClient(new WebViewClient(){
@Override
public void onReceivedSslError(WebView view, SslErrorHandler handler, SslError error) {
// DO NOT CALL SUPER METHOD
super.onReceivedSslError(view, handler, error);
}
});