Я не знаю Vue, но обычно вам не нужно создавать document.getElementById ("map"). вам просто нужно передать идентификатор в L.map следующим образом:
let map = Leaflet.map("map").setView([51.505, -0.09], 13)
И вы должны задать высоту вашей карте div, например
<div id="map" height="500px">
</div>
Редактировать
Что не так? на моих codesandbox вы можете увидеть пример в html и javascrip, который отображается нормально. Вот ссылка на учебник, который использует Leaflet и Vuejs