Как эффективно рассчитать числа в диапазоне цифр для показательной функции

Question

У меня есть экспоненциальная функция x ^ n, где x - это число от 0 до 1, а n - большое целое число (обычно> 100). Предположим, что нет ошибки округления для x и n, когда они представлены числом двойной точности. Как я могу эффективно рассчитать числа в диапазоне цифр для x ^ n? Например, я хочу получить только цифры в двух тысячах и первых десятичных разрядах для 0,123 ^ 1000.

Я знаю, что высокоточная библиотека, такая как MPFR, прекрасно справляется с этой задачей, но она значительно медленнее, чем вычисления с двойной точностью. Поскольку мне не нужны все числа в числе, я ищу более эффективный способ сделать это, но я понятия не имею об этом. Будем благодарны за любые предложения или советы.

==================== update1 =============== =====

Спасибо за комментарии и ответы всех ваших парней, я заметил, что пример в вопросе может быть неуместным, потому что число все еще недостаточно мало, чтобы вызвать усечение, поэтому я изменяю его на 0.123 ^ 1000.

Для тех, кто предпочитает видеть какой-то реальный код, я сделал воспроизводимый пример в R

x <- 0.123^1000
sprintf("%.10e",x)
y <- mpfr(0.123,precBits = 10000)^1000
y

x - число с двойной точностью, и результат равен 0, y является числом с точностью до 10000 битов и может фактически показывать номер результата в 2001-м десятичном виде git. Обратите внимание, что первые несколько (может быть, много) значащих цифр, как правило, не представляют интереса, то есть, если истинный ответ экспоненциальной функции равен 0,123 + 4 * 10 ^ 10000, я бы заинтересовался этой "4", а не любые числа в 1,2,3. Вот почему высокоточная библиотека здесь может не подходить, поскольку она будет выполнять много ненужных вычислений.

Answer 1

Вам нужна библиотека для расчетов с большими целыми числами . Вы можете реализовать рациональных чисел с этой библиотекой и соответствующими вычислениями. Тогда легко получить любое десятичное число git рационального числа. Посмотрите на пример кода в Python.

Если вас интересует десятичное число git d из рационального числа f, вы вычисляете f * 10^d, используете только его целую часть и возьмите только младшее значащее число di git.

import fractions

def get_digit(f, d):
    f1 = f * 10**d
    return (f1.numerator // f1.denominator) % 10

f = fractions.Fraction(123, 1000)
p = f ** 100

assert get_digit(p, 91) == 0
assert get_digit(p, 92) == 9
assert get_digit(p, 93) == 7
assert get_digit(p, 94) == 8
assert get_digit(p, 95) == 3
assert get_digit(p, 96) == 8

Обновление:

На n-е десятичное число di git влияют все менее значимые десятичные цифры во время вычислений. По этой причине невозможно вычислить n-й десятичный знак di git напрямую . А количество необходимых значащих цифр делает тип данных двойной точности бесполезным. По этой причине расчет больших целых чисел является разумным практическим компромиссом.