используйте this.props.location.pathname, чтобы получить текущий маршрут в виде строки.
используйте это для условного рендеринга фонового изображения в объекте встроенного стиля, например
return (
<BrowserRouter>
<div className="App" style={{ this.props.location.pathname !== "/" && backgroundImage: `url(${bg})` }}>
<Switch>
<Route path="/" component={Login} exact/>
<Route path="/Welcome" component={Welcome}/>
</Switch>
</div>
</BrowserRouter>
);