Это не сработает, поскольку PHP - это препроцессор, он будет отображаться первым, JS до этого не выполняется. Вместо этого вы можете заменить свое значение шаблоном и заменить этот шаблон, используя JS.
<form action="{{ route('cart.add', ['__ID__']) }}" method="POST">
Теперь перед отправкой вы можете прочитать URL-адрес действия, используя JS, и заменить его значением ваша VueJS переменная.