Просто удвойте каждую кавычку и обратный символ sh в тексте:
function SetLastCharacter(source, charid)
charid = string.gsub(charid, "['\\]", "%0%0")
local text = GetPlayerIdentifiers(source)[1]
text = string.gsub(text, "['\\]", "%0%0")
MySQLAsyncExecute("UPDATE `user_lastcharacter` SET `charid` = '"..charid.."' WHERE `steamid` = '"..text.."'")
end