Я сам нашел решение. Я публикую его здесь, чтобы оно могло кому-нибудь помочь в будущем. Это код html, вызвавший проблему в android webview
<div class="chat-input">
<input type="textarea" class="form-control" id="message">
<button type="button" class="btn" id="send">Basic</button>
</div>
Проблема, с которой я столкнулся, была, когда нажата кнопка отправки, программная клавиатура закрывается. Я думаю, это из-за того, что textarea теряет фокус. Решение состоит в том, чтобы вызвать метод фокусировки для textarea. Вот так
$("#send).click(function(){
$("#message").focus() ;
sendmessage();
})