Ваша форма не отправляется, потому что у вас нет кнопки отправки, вам нужно добавить кнопку с type = "submit" , если вы хотите отправить форму
<button type="submit" value="Submit">Submit</button>
Если вы хотите отправить форму другому php сценарию, не забудьте установить атрибут действия
Редактировать:
Добавить мою кнопку и var_dump содержимое переменной $ _POST в верхней части страницы, оно, вероятно, пусто после отправки.