Алгоритм нахождения решения для A xor X = B + X - PullRequest
Новая
       19

Алгоритм нахождения решения для A xor X = B + X

46 голосов
/ 31 марта 2020

Для заданных целых чисел A и B найдите целое число X так, чтобы:

  • A, B <2 * 1e18 </li>
  • A xor X = B + X

Я очень сомневаюсь, что это уравнение можно решить с помощью математики. Это проблема кодирования, с которой я столкнулся 3 года go, и даже сейчас я не могу решить ее самостоятельно.

Мой код до сих пор: (это грубое решение) 

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{

    unsigned long long a, b;
    cin >> a >> b;
    for (unsigned long long x = 1; x < max(a, b); x++) {
        unsigned long long c = a ^ x;
        unsigned long long d = b + x;
        if (c == d) {
            cout << x << endl;
            break;
            return 0;
        }
    }

    cout << -1; //if no such integer exists

    return 0;
}

Ответы [ 2 ]

45 голосов
/ 01 апреля 2020

Обратите внимание, что A + X == (A xor X) + ((A and X)<<1). Итак: 

A xor X = A + X - ((A and X)<<1) = B + X
A - B = (A and X)<<1

И имеем: 

(A - B) and not (A<<1) = 0    (All bits in (A - B) are also set in (A<<1))
(A - B)>>1 = A and X

Если условие выполнено, для любого целого числа Y, в котором нет битов, установленных в A, (((A - Б) >> 1) или У) есть решение. Если вам нужно только одно решение, вы можете использовать ((A - B) >> 1), где Y = 0. В противном случае решения не существует. 

int solve(int a, int b){
    int x = (a - b) >> 1;
    if ((a ^ x) == b + x)
        return x;
    else
        return ERROR;
}
38 голосов
/ 31 марта 2020

Это не очень сложно, вам просто нужно думать поменьше: предположим, мы пишем A, B и X в двоичном формате, а Aᵢ - это значение, соответствующее крайней правой 2 ⁱ bit.

Мы знаем, что: Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ.

Давайте рассмотрим пример, чтобы узнать, как это оценить: A = 15 и B = 6. Преобразование в двоичный файл: 

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 0
X = a b c d           X = a b c d

Теперь у нас есть несколько возможностей. Давайте проанализируем самые правые биты A и B: 

1 ⊕ d = 0 + d

Мы знаем, что d может быть только 0 или 1, поэтому: 

for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 0 = 0 + 0    =>    1 = 0 (not possible)

for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 1 = 0 + 1    =>    0 = 1 (not possible)

Заметно, что XOR ведет себя так же, как двоичная сумма (с той разницей, что XOR не создает перенос для следующей битовой суммы): 

    XOR           SUM
0 ⊕ 0 = 0  |   0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1  |   0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1  |   1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0  |   1 + 1 = 0

, поэтому не всегда можно найти X, удовлетворяющий A ⊕ X = B + X, потому что это не значение d, которое удовлетворяет 1 + d = 0 + d.

В любом случае, если X существует, вы можете просто найти его таким образом, справа налево, находя постепенно.

РАБОЧИЙ ПОЛНЫЙ ПРИМЕР

A = 15, B = 7: 

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d

Здесь d = 0 и d = 1 подать заявку, тогда что? Нам нужно проверить следующий бит. Предположим, что d = 1: 

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (possible)

BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:

Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
                                   1 ⊕ c = c  (not possible)

, поэтому в этом случае d должно быть 0. 

carryover                              0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                   0                     0

we know that c must be 0:

carryover                            0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                 1 1                   1 1

, но как насчет b? нам нужно проверить следующий бит, как всегда: 

if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:

1 ⊕ a = 0 + a  (and this is not possible)

so we try b = 1:

1 ⊕ b = 1 + b    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (with carryover)

и теперь, для a: 

carryover                          1 0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a 1 0 0           X = a 1 0 0
        -----------------------------------
               0 0 0                 0 0 0


1 ⊕ a = 0 + a (+1)    =>    1 ⊕ a = 1 + a

здесь a может быть 0 и 1, но это должно быть 0, чтобы избежать переноса в сумме B + X.

Тогда X = 0 1 0 0, то есть X = 4.

CODE 

#include <iostream>
using namespace std;

inline int bit(int a, int n) {
    if(n > 31) return 0; 
    return (a & ( 1 << n )) >> n; 
}

int main(){
    int A = 19;
    int B = 7;

    int X = 0;
    int carryover = 0;
    int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;

    for(int i = 0; i < 32; i++){
        aCurrent =  bit(A, i);      bCurrent =  bit(B, i);
        aNext =     bit(A, i + 1);  bNext =     bit(B, i + 1);

        if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 0;
        }
        else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext == bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 1;
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }

    }

    if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
    else cout<<"X doesnt exist"<<endl;

    return 0;
}

Вы можете проверить это здесь .

...