Что вы можете сделать, это отправить форму по тому же методу
<form action="post"></form>
она отправит данные по вашему методу
public function search(){
return view('search')
}
вы можете получить доступ к request()
помощнику по вашему мнению (Который даст ноль, если вы попытаетесь получить доступ к какому-либо значению сначала, но после публикации он даст вам опубликованное значение)
<input name="order_number" value="{{ request()->order_number }}">
То же самое для селектора
<select name="user_id">
<option {{ request()->user_id == 1 ? 'selected' : '' }} value="1">user 1</option>
<option {{ request()->user_id == 2 ? 'selected' : '' }} value="1">user 2</option>
</select>