Если вас не беспокоит то, что числа являются последовательными (то есть: 1, 2, 3, 4, ...), а только тем, что они увеличиваются, вы можете использовать команду date
:
SyslogClient.sh > syslogExport$(date +"%y%m%d%H%M%S").log
Это создаст файлы, такие как syslogExport200306155325.log, syslogExport200306155700.log, et c.