Вы можете использовать обещание, которое будет разрешено на событии, а затем дождаться этого обещания.
const browser = await puppeteer.launch({
headless: false,
defaultViewport: null
});
let resolve;
var dialogPromise = new Promise(x => resolve = x);
const Page = await browser.newPage();
await Page.goto('https://www.google.com/');
page.on('dialog', async dialog => {
resolve(dialog.message());
await dialog.dismiss()
})
var output = await dialogPromise;
console.log(output);