Значение - это свойство, которое вы хотите и должны работать без проблем.
Вот краткий пример, показывающий, как его использовать.
document.getElementById('MyTarget').addEventListener("keyup", function() {
let value = document.getElementById('MyTarget').value;
document.getElementById('MyOutput').innerHTML = value;
})
<textarea class="gwt-TextArea" style="height: 100px; width: 200px;" id="MyTarget" onkeyup="window.keyup"></textarea>
<div id="MyOutput">
</div>