Браузер отправляет только GET-запросы при вводе URL-адреса в адресной строке. Чтобы отправить запрос DELETE, вы можете использовать команду командной строки curl
curl -X "DELETE" http://localhost:xxxxx/api/student/StudentDeleteById/38
или создать небольшую страницу с jQuery, которая отправляет запрос:
function sendDelete() {
$.ajax(
{
url: 'http://localhost/api/student/StudentDeleteById/38',
method: 'DELETE'
}).done(function () {
alert('done');
});
}