Вы можете использовать и идентификатор и индекс для него. Как показано ниже
removeSavedChild(id, index, items){
axios.delete('/api/admin/variations/destroy/'+id).then((res) => {
console.log(res.data.success);
items.splice(index, 1);
})
.catch((err) => {
console.log(err)
});
},
в вашем событии клика, вы будете проходить следующим образом.
@click="removeSavedChild(itemm.id, index, item.children)"
при условии, что вы в качестве значения для l oop поместите туда индекс, например,
<template v-for="(itemm, index) in item.children" >