Вы можете проверить все исключения в app/Exceptions/Handler.php
и выполнить проверку и запись в файл или любой другой лог c. Документы
Например:
<?php
use Illuminate\Database\Eloquent\ModelNotFoundException;
...
public function report(Exception $exception)
{
if ($exception instanceof ModelNotFoundException) {
//write to file
}
parent::report($exception);
}