Но я не администратор и не могу получить access_token
В любом случае вам потребуется использовать токен доступа пользователя; но ваше приложение должно быть сначала установлено в группе, и это может сделать только администратор группы.
можно ли как-нибудь опубликовать пост через API Facebook?
Нет, другого пути нет.