Полагаю, я нашел решение:
Мне просто нужно добавить pem-файл сертификата клиента в строку сервера серверной части haproxyOut.
do c say (раздел внутреннего сервера):
crt
Обозначает файл PEM, из которого можно загрузить как сертификат, так и связанный с ним закрытый ключ. Этот файл может быть построен путем объединения обоих файлов PEM в один. Этот сертификат будет отправлен, если сервер отправит запрос сертификата клиента.