На первом шаге вы должны установить sh механизм, который блокирует один сервер от доступа к GMail INBOX, в то время как другой читает электронную почту. Для этого вы можете использовать запись в таблице базы данных, файл в общей папке, Zookeeper и т. Д.
Протокол IMAP (и протокол POP3) не знает что-то вроде «блокировки записи», не даже блокировка на более высоких уровнях, поэтому никакой поддержки с этой стороны. Вы даже не можете получить информацию о том, сколько клиентов в настоящее время подключено к данному почтовому ящику (по крайней мере, не с протоколами IMAP или POP3, и я не знаю API Google, который бы сообщал вам это для учетной записи GMail).
Далее вы помечаете обработанные электронные письма как прочитанные в INBOX (и последующие попытки чтения будут игнорировать уже прочитанные электронные письма). Или вы переместите обработанные электронные письма в отдельную папку IMAP в почтовом ящике.
Если вы просто хотите переключиться на другой ресурс (другой сервер холодный), вам придется отсортировать его на сервере. уровень; это опять-таки не связано с доступом к почтовому ящику.