прежде всего импортируйте библиотеку конвертирования;
import 'dart:convert';
получите вашу jsonString
String jsonString = await storage.getString("user");
и декодируйте ее в Dart;
var yourJson = json.decode(jsonString);
Отредактируйте json и снова преобразовать его в строку;
String editedJsonString = json.encode(yourJson);
наконец сохранить в общий ключ с тем же ключом;
storage.setString("user", editedJsonString);