Вам лучше использовать .hover, чем .mouseenter / left.
Однако реальная проблема заключается в том, что меню находится за пределами слайдшоу, поэтому наведение курсора на меню считается уходом из слайдшоу. Измените html на следующий, вложив меню в слайдшоп и вернитесь к использованию функции .hover ::
<div id="slideshow-wrapper">
<div id="slideshow">
<img src="images/image1.jpg" alt="Slideshow Image 1" class="active" />
<img src="images/image2.jpg" alt="Slideshow Image 2" />
<img src="images/image3.jpg" alt="Slideshow Image 3" />
<img src="images/image4.jpg" alt="Slideshow Image 4" />
</div>
<div id="main-menu">
<ul>
<li><a href="#">home</a></li>
<li><a href="#">store</a></li>
<li><a href="#">services</a></li>
<li><a href="#">about</a></li>
<li><a href="#">contact</a></li>
<li><a href="#">login</a></li>
</ul>
</div>
</div>