Спс без ковариационной матрицы?

Question

Как это возможно, что я могу рассчитать PCA без Ковариационной матрицы?

Код ниже делает это:

• С ковариацией : я вычитаю среднее значение для каждого столбца и вычисляю матрицу cov (), прежде чем вычислять Собственные значения и собственные векторы.
• Без ковариации : я вычисляю скалярное произведение X_train (необработанные данные), которое не центрируется по средним значениям

Для сравнения результаты, я рассчитал для обоих SVD.

Так почему же можно получить необработанные данные для PCA без среднего и cov () ??

import numpy as np
from scipy.linalg import svd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import linalg as LA
from sklearn.decomposition import PCA
import copy


# data
X_train = np.asarray([[13.71,1.86,2.36,16.6],[12.22,1.29,1.94,19],
           [13.27,4.28,2.26,20],[13.16,3.57,2.15,21],
           [13.86,1.51,2.67,25]])


# with covariance
X = copy.copy(X_train)

n_samples = np.shape(X)[0]
X -= np.mean(X, axis=0)


U,S,VT = svd(X)


cov_m  = np.cov(X.T)
eigval, eigvec = np.linalg.eigh(cov_m)
print('with covariance')
print('S\t %s' %S)
print('S**2\t %s' %str(S**2/(n_samples-1)))
print('eigval\t %s' %np.asarray(sorted(eigval, reverse=True)))


with covariance
S        [6.1900012  2.67966882 1.2864974  0.08662946]
S**2     [9.57902870e+00 1.79515624e+00 4.13768889e-01 1.87616595e-03]
eigval   [9.57902870e+00 1.79515624e+00 4.13768889e-01 1.87616595e-03]   




##  without covariance    
U1,S1,VT1 = svd(X_train)  
XTX = np.dot(X_train.T, X_train) 
eigval1, eigvec1 = np.linalg.eigh(XTX)
print('\n without covariance')
print('S1\t %s' %S1)
print('S1**2\t %s' %str(S1**2))
print('eigval1\t %s' %np.asarray(sorted(eigval1, reverse=True)))

with covariance:
S        [6.1900012  2.67966882 1.2864974  0.08662946]
S**2     [9.57902870e+00 1.79515624e+00 4.13768889e-01 1.87616595e-03]
eigval   [9.57902870e+00 1.79515624e+00 4.13768889e-01 1.87616595e-03]