Закрытия и универсальное количественное определение - PullRequest
Новая
       35

Закрытия и универсальное количественное определение

12 голосов
/ 08 апреля 2010

Я пытался понять, как реализовать церковные типы данных в Scala. Кажется, что для этого требуются типы ранга n, так как вам потребуется функция const первого класса типа forAll a. a -> (forAll b. b -> b).

Однако я смог кодировать пары таким образом: 

import scalaz._

trait Compose[F[_],G[_]] { type Apply = F[G[A]] }

trait Closure[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

def pair[A,B](a: A, b: B) =
  new Closure[Compose[({type f[x] = A => x})#f,
                      ({type f[x] = B => x})#f]#Apply, Id] {
    def apply[C](f: A => B => C) = f(a)(b)
  }

Для списков я смог закодировать cons: 

def cons[A](x: A) = {
  type T[B] = B => (A => B => B) => B
  new Closure[T,T] {
    def apply[B](xs: T[B]) = (b: B) => (f: A => B => B) => f(x)(xs(b)(f))
  }
}

Однако пустой список более проблематичен, и я не смог заставить компилятор Scala унифицировать типы.

Можете ли вы определить nil, чтобы, учитывая приведенное выше определение, компилировались следующие? 

cons(1)(cons(2)(cons(3)(nil)))

1 Ответ

11 голосов
/ 09 апреля 2010

Спасибо Марку Харре за завершение этого решения. Хитрость в том, что Function1 в стандартных библиотеках не определено достаточно общим образом.

Моя черта "замыкание" в этом вопросе на самом деле является естественным преобразованием между функторами. Это обобщение понятия «функция». 

trait ~>[F[_],G[_]] { def apply[B](f: F[B]): G[B] }

Функция a -> b должна быть специализацией этой черты, естественным преобразованием между двумя эндофункторами в категории типов Scala. 

trait Const[A] { type Apply[B] = A }
type ->:[A,B] = Const[A]#Apply ~>: Const[B]#Apply

Const[A] - это функтор, который отображает каждый тип на A.

А вот наш тип списка: 

type CList[A] = ({type f[x] = Fold[A,x]})#f ~> Endo

Здесь Endo - это просто псевдоним для типа функций, которые отображают тип на себя ( endofunction ). 

type Endo[A] = A ->: A

И Fold - это тип функций, которые могут сворачивать список: 

type Fold[A,B] = A ->: Endo[B]

И, наконец, вот наши конструкторы списков: 

def cons[A](x: A) = {
  new (CList[A] ->: CList[A]) {
    def apply[C](xs: CList[A]) = new CList[A] {
      def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => f(x)(xs(f)(b))
    }
  }
}

def nil[A] = new CList[A] {
  def apply[B](f: Fold[A,B]) = (b: B) => b
}

Одно предостережение - это необходимость явного преобразования (A ->: B) в (A => B), чтобы помочь системе типов Scala. Так что все еще ужасно многословно и утомительно на самом деле сворачивать список после его создания. Вот эквивалентный Haskell для сравнения: 

nil p z = z
cons x xs p z = p x (xs p z)

Конструкция списка и складывание в версии на Haskell лаконичны и без шума: 

let xs = cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)) in xs (+) 0
...