Есть ли способ получить текущее содержимое WebView?
А как насчет куки для определенного хоста + URL?
Есть ли способ получить текущий содержание WebView?
Нет, извините.
А как насчет куки для конкретного хост + URL
См. CookieManager.
CookieManager
Не просматривать объект WebView, но вы можете получить URL через WebViewClient.onLoadResource и получить содержимое с помощью сокетов.