Построить точку в трехмерном пространстве перпендикулярно вектору линии

Question

Я пытаюсь вычислить точку в трехмерном пространстве, которая перпендикулярна / перпендикулярна вектору линии.

Итак, у меня есть P1 и P2, которые образуют линию. Затем я пытаюсь найти точку с радиусом в центре P1, который ортогонален линии.

Я хотел бы сделать это с помощью тригонометрии, без какого-либо языка программирования, определяющего c функции.

В данный момент я проверяю, насколько точна эта функция, нанося окружность вокруг вектора линии.

Я также поворачиваю вектор линии в трехмерном пространстве, чтобы увидеть, что происходит с нанесенным на окружность кругом, вот где мои результаты меняются.

Некоторые из нежелательных эффектов включают в себя: Круг, вращающийся и проходящий через вектор линии. Радиус круга, по-видимому, уменьшается до нуля, а затем растет, когда вектор линии меняет направление.

Я использовал этот вопрос , чтобы начать работу, и с тех пор внес некоторые коррективы в код.

Любая помощь с этим была бы очень признательна - я потратил 3 дня на рисование кругов. Вот мой код до сих пор

//Define points which form the line vector
dx = p2x - p1x;
dy = p2y - p1y;
dz = p2z - p1z;

// Normalize line vector
d = sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz);

// Line vector
v3x = dx/d;
v3y = dy/d;
v3z = dz/d;

// Angle and distance to plot point around line vector
angle = 123 * pi/180 //convert to radians
radius = 4;

// Begin calculating point
s = sqrt(v3x*v3x + v3y*v3y + v3z*v3z);

// Calculate v1.
// I have been playing with these variables (v1x, v1y, v1z) to try out different configurations.
v1x = s * v3x;
v1y = s * v3y;
v1z = s * -v3z;

// Calculate v2 as cross product of v3 and v1.
v2x = v3y*v1z - v3z*v1y;
v2y = v3z*v1x - v3x*v1z;
v2z = v3x*v1y - v3y*v1x;

// Point in space around the line vector
px = p1x + (radius * (v1x * cos(angle)) + (v2x * sin(angle)));
py = p1y + (radius * (v1y * cos(angle)) + (v2y * sin(angle)));
pz = p1z + (radius * (v1z * cos(angle)) + (v2z * sin(angle)));

EDIT

После нескольких дней борьбы с этим во время блокировки, мне наконец-то удалось заставить это работать. Я хотел бы поблагодарить MBo и Futurologist за их неоценимый вклад.

Хотя я не смог заставить их примеры работать (скорее всего из-за моей ошибки), их ответы указали мне верное направление и тот момент эврики!

Ключ был в обмене правильными векторами.

Так что спасибо вам обоим, вы действительно помогли мне в этом. Это мой окончательный (рабочий) код:

//Set some vars
angle = 123 * pi/180;
radius = 4;

//P1 & P2 represent vectors that form the line.
dx = p2x - p1x;
dy = p2y - p1y;
dz = p2z - p1z;

d = sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz)

//Normalized vector
v3x = dx/d;
v3y = dy/d;
v3z = dz/d;

//Store vector elements in an array
p = [v3x, v3y, v3z];

//Store vector elements in second array, this time with absolute value
p_abs = [abs(v3x), abs(v3y), abs(v3z)];

//Find elements with MAX and MIN magnitudes
maxval = max(p_abs[0], p_abs[1], p_abs[2]);
minval = min(p_abs[0], p_abs[1], p_abs[2]);

//Initialise 3 variables to store which array indexes contain the (max, medium, min) vector magnitudes.
maxindex = 0;
medindex = 0;
minindex = 0;

//Loop through p_abs array to find which magnitudes are equal to maxval & minval. Store their indexes for use later.
for(i = 0; i < 3; i++) {
    if (p_abs[i] == maxval) maxindex = i;
    else if (p_abs[i] == minval) minindex = i;
}

//Find the remaining index which has the medium magnitude
for(i = 0; i < 3; i++) {
    if (i!=maxindex && i!=minindex) {
        medindex = i;
        break;
    }
}

//Store the maximum magnitude for now.
storemax = (p[maxindex]);

//Swap the 2 indexes that contain the maximum & medium magnitudes, negating maximum. Set minimum magnitude to zero.
p[maxindex] = (p[medindex]);
p[medindex] = -storemax;
p[minindex] = 0;

//Calculate v1. Perpendicular to v3.
s = sqrt(v3x*v3x + v3z*v3z + v3y*v3y);
v1x = s * p[0];
v1y = s * p[1];
v1z = s * p[2];

//Calculate v2 as cross product of v3 and v1.
v2x = v3y*v1z - v3z*v1y;
v2y = v3z*v1x - v3x*v1z;
v2z = v3x*v1y - v3y*v1x;

//For each circle point.
circlepointx = p2x + radius * (v1x * cos(angle) + v2x * sin(angle))
circlepointy = p2y + radius * (v1y * cos(angle) + v2y * sin(angle))
circlepointz = p2z + radius * (v1z * cos(angle) + v2z * sin(angle))

Answer 1

#Input:
# Pair of points which determine line L: 
P1 = [x_P1, y_P1, z_P1]
P2 = [x_P1, y_P1, z_P1]

# Radius:
Radius = R

# unit vector aligned with the line passing through the points P1 and P2:
V3 = P1 - P2
V3 = V3 / norm(V3)

# from the three basis vectors, e1 = [1,0,0], e2 = [0,1,0], e3 = [0,0,1] 
# pick the one that is the most transverse to vector V3
# this means, look at the entries of V3 = [x_V3, y_V3, z_V3] and check which
# one has the smallest absolute value and record its index. Take the coordinate 
# vector that has 1 at that selected index. In other words, 
# if min( abs(x_V3), abs(y_V)) = abs(y_V3), 
# then argmin( abs(x_V3), abs(y_V3), abs(z_V3)) = 2 and so take e = [0,1,0]:   
e = [0,0,0]
i = argmin( abs(V3[1]), abs(V3[2]), abs(V3[3]) )
e[i] = 1

# a unit vector perpendicular to both e and V3:  
V1 = cross(e, V3)
V1 = V1 / norm(V1)

# third unit vector perpendicular to both V3 and V1:
V2 = cross(V3, V1)

# an arbitrary point on the circle (i.e. equation of the circle with parameter s):
P = P1 + Radius*( np.cos(s)*V1 + np.sin(s)*V2 ) 


# E.g. say you want to find point P on the circle, 60 degrees relative to vector V1:
s = pi/3
P = P1 + Radius*( cos(s)*V1 + sin(s)*V2 ) 

Пример теста в Python:

import numpy as np

#Input:
# Pair of points which determine line L: 
P1 = np.array([1, 1, 1])
P2 = np.array([3, 2, 3])
Radius = 3

V3 = P1 - P2
V3 = V3 / np.linalg.norm(V3)
e = np.array([0,0,0])
e[np.argmin(np.abs(V3))] = 1

V1 = np.cross(e, V3)
V1 = V1 / np.linalg.norm(V3)

V2 = np.cross(V3, V1)

# E.g., say you want to rotate point P along the circle, 60 degrees along rel to V1:
s = np.pi/3
P = P1 + Radius*( np.cos(s)*V1 + np.sin(s)*V2 ) 

Answer 2

Ваш вопрос слишком расплывчатый, но я могу предположить, что вы действительно хотите.

У вас есть линия через две точки p1 и p2. Вы хотите построить круг радиуса r с центром в p1 и перпендикулярно линии.

Сначала найдите вектор направления этой линии - вы уже знаете, как - нормализованный вектор v3.

Теперь вам нужен произвольный вектор, перпендикулярный v3: найдите компоненты v3 с наибольшей величиной и второй величиной. Например, abs(v3y) является наибольшим, а abs(v3x) имеет вторую величину. Замените их, отмените наибольший и сделайте третий компонент равным нулю:

p = (-v3y, v3x, 0)

Этот вектор является нормальным для v3 (их скалярное произведение равно нулю)

Теперь нормализуйте его

pp = p / length(p)

Теперь получим бинормальный вектор в виде перекрестного произведения v3 и pp (у меня единичная длина, нормализация не требуется), он перпендикулярен как v3, так и pp

b = v3 x pp

Теперь строим необходимый круг

circlepoint(theta) = p1 + radius * pp * Cos(theta) + radius * b * Sin(theta)

Также обратите внимание, что угол в радианах равен

angle = degrees * pi / 180