Есть много способов сделать это, но сначала вы должны изменить способ инициализации массива char, потому что вы сделали это неправильно.
это та же самая программа, но работающая
#include <iostream>
using namespace std;
struct struct1
{
string name;
};
int main()
{
struct1* obj1 = new struct1();
obj1->name = "Hello";
char str[25] = "";
memcpy(&str,obj1->name.c_str(),obj1->name.size());
cout << str << endl;
}