Похоже, вы не установили "AutoPostBack = true" для списка радиокнопок. Установите это свойство и попробуйте, должно работать.
Работает для меня с кодом ниже
<asp:UpdatePanel ID="UpdatePanel1" runat="server" UpdateMode="Conditional">
<ContentTemplate>
<div class="card-body">
<asp:Panel runat="server" CssClass="pnl" GroupingText="Keuze extra saus" Visible="true" ID="pnlExtraSauce">
<asp:RadioButtonList ID="rd" AutoPostBack="true" CssClass="checklist" runat="server"></asp:RadioButtonList>
</asp:Panel>
<asp:Panel runat="server" CssClass="pnl" GroupingText="Keuze extra's" Visible="true" ID="pnlExtras">
<asp:CheckBoxList ID="chk" CssClass="checklist" AutoPostBack="true" runat="server"></asp:CheckBoxList>
</asp:Panel>
<div style="margin-top: 10px; margin-bottom: 5px; text-align: center">
<asp:Button ID="btnSave" runat="server" ForeColor="White" Font-Bold="true" OnClick="btnSave_Click" BackColor="DarkRed" Font-Size="15px" Width="80%" Height="30px" Text="Button" />
</div>
</div>
</ContentTemplate>
protected void Page_Load(object sender, EventArgs e)
{
if (!IsPostBack)
{
rd.Items.Add(new ListItem("One", "1"));
rd.Items.Add(new ListItem("Two", "2"));
rd.Items.Add(new ListItem("Three", "3"));
chk.Items.Add(new ListItem("One", "1"));
chk.Items.Add(new ListItem("Two", "2"));
chk.Items.Add(new ListItem("Three", "3"));
}
}