лучше проверить, существует ли маршрут или нет, если нет, то следует создать его
php artisan route:list
на основе вашего взгляда существует конфликтный маршрут
<form action="{{url('admin/edit/'.$header->id)}}" method="POST" >
{{method_field('PUT')}}`
убедитесь, что вам нужно сделать, PUT или POST , но не оба
этот маршрут Route::put('admin/index, Admin\HeaderSlidercontroller@update');
не имеет аргумента, поэтому вам не нужно ставить аргумент для html формы
<form action="{{url('admin/index')}}" method="PUT" >
и удаления этого тега a
<a href ="{{url('admin/index')}}"> ...