Я хочу выбрать изображение из галереи и скопировать это изображение в каталог установки запущенного в данный момент приложения с помощьюact-native.
Вы можете использовать React Native Image Picker , чтобы выбрать изображение из Camera Roll или Gallery.
См. Его код использования здесь
Для записать любой файл в собственное хранилище файлов, вы можете использовать RNFS
См. базовый c пример здесь