Вы не можете - вот в чем дело.
Google Chrome docs предупреждает о том, что все способы хранения данных с использованием расширений небезопасны. В принципе, все источники данных могут быть скомпрометированы: localStorage, Cookies, Web Sql, Chrome .storage. Таким образом, единственный способ, которым вы можете безопасно хранить данные без доступа дополнительного пользователя, - это отправить их на защищенный сервер. Чтобы это произошло, вы можете использовать Ajax, XMLHttpRequest в чистом JS.
PS Я предполагаю, что Google специально ограничил эту возможность. Помните, что все ваши скрипты контента работают в изолированных мирах . Все это указывает на то, что Google хотел убедиться, что расширение прозрачно для пользователя и не будет ничего скрывать или наносить ущерб своему опыту.