симметрия c произведение матриц - PullRequest
Новая
       32

симметрия c произведение матриц

1 голос
/ 28 января 2020

Python: Есть ли function F такой, что

Ввод: Две матрицы A и B, два числа

Выход: симметрия c произведение матриц.

Например: 

F(A,B,1,1)=AB+BA

F(A,B,2,1)=A^2B+ABA+BA^2 (2 означает две матрицы A и 1 означает одну матрицу B в продукте) и так далее.

Функция необходима для решения следующей задачи:

вычисление матрицы C для различных m и n (0 <= m <= L, 0 <= n <= L) </p> 

(a*A+b*B)^{m+n}=..+a^m b^n C+..

A и B - довольно большие матрицы.

1 Ответ

0 голосов
/ 28 января 2020

Большинство решений сложных проблем включает разбиение на более мелкие проблемы и их решение по отдельности.

Мы можем переписать эту задачу в 2 части:

  • Генерация последовательностей операций.

    Например, для F(A, B, 2, 1) -> AAB+ABA+BAA (неявное умножение матриц)

  • Вычисление (эффективно) этих операций. Мы можем заметить, что некоторые вычисления будут выполнены несколько раз. Например, когда мы вычисляем AAB+ABA+BAA, мы можем сгруппировать все умножения AA и сохранить результат для последующего использования при необходимости.

Для генерации последовательностей мы можем использовать more_itertools distinct_permutations функция . Кодируя A в 0 и B в 1, он генерирует последовательности вычислений, которые мы хотим.

Чтобы выполнить вычисления для одной последовательности, мы должны воспользоваться преимуществами предыдущих вычислений. Мы можем использовать запоминание, чтобы запомнить предыдущие результаты и выполнить их только один раз. 

# /!\ IMPORTANT: This initialization is wrong in some case, see the EDIT.
memo = {(0,): A, 
        (1,): B
       }  # should be initialized everytimes A, or B changes.

def matmul_perm(A, B, perm):
    if perm in memo:  # If previously computed, return result
        return memo[perm]

    mid = len(perm) // 2

    memo[perm] = (matmul_perm(A, B, perm[:mid]) @ 
                  matmul_perm(A, B, perm[mid:]))  # Split computation in 2 equal part and store result
    return memo[perm]

Теперь мы можем определить нашу функцию: 

def F(A, B, na, nb):
    s = 0
    for perm in distinct_permutations((0,)*na + (1,)*nb):
        s += matmul_perm(A, B, perm)
    return s

И, наконец, протестировать нашу программу: 

A = np.random.randn(50, 50)

B = np.random.randn(50, 50)

memo = {(1,): B, (0,): A}

np.max(np.abs(F(A, B, 2, 2) - (A@A@B@B + A@B@A@B + B@A@A@B + A@B@B@A + B@A@B@A + B@B@A@A)))
>>> 1.8189894035458565e-12

На моем компьютере требуется около 6 сек c для вычисления F(A, B, 10, 10) с A и B размером 50×50 и запиской fre sh. (и менее чем за секунду, чтобы пересчитать его во второй раз)

EDIT

Эта реализация повторяется вечно при вызове с na=nb=0. Самое простое решение - изменить инициализацию memo на 

memo = {(0,): A, 
        (1,): B,
        (): np.eye(*A.shape)  # Empty product !
       }
...