Если у вас есть событие handleChange
в select, например, с двухсторонним связыванием, вы можете получить к нему доступ следующим образом:
handleChange = (e) => {
console.log( e.target.selectedOptions[0].getAttribute('data-set') );
}
При рендеринге это может выглядеть так:
<select value={this.state.value} onChange={this.handleChange}>