Проблема вызвана пределами точности чисел R. Как отметили комментаторы, n выбирают значения k, которые я вычисляю выше, действительно, очень большие (choose(80,40) = 1.075072e+23
).
Мы можем использовать журналы, чтобы попытаться удержать проблему в вычислительных пределах R. Это реализация подхода Рамануджана. К сожалению, ошибки в приближении усугубляются, а точность уменьшается еще быстрее. Функция вероятности требует сложения и вычитания последовательности очень больших чисел, чтобы получить окончательное значение между 0 и 1, и не допускает никаких неточностей.
0) Перепишите функцию вероятности, чтобы разбить ее на шаги
probability <- function(s, m, n) {
# Probability of getting less than s
i <- 0:((s-1-n) / m)
c1 <- choose(n, i)
c2 <- choose(s - 1 - i * m, n)
seq <- (-1)^i * (c1 * c2)
m^(-n) * sum(seq)
}
1) реализовать аппроксимацию log (x!)
# using the 'ramanujan' method
ramanujan <- function(n){
n * log(n) - n + log(n * (1 + 4*n * (1 + 2*n))) / 6 + log(pi) / 2
}
# confirm Ramanujan works correctly
n <- 1:200
diff <- log(factorial(n)) - ramanujan(n)
plot(n, diff) # r returns inf for factorial(171), but up to there the numbers match
2) переписать функцию choose
с использованием аппроксимации журнала.
#' This function returns log(choose(n,k))
log_nck <- Vectorize(function(n, k) {
if(n <= k | n < 1 | k < 1) return(log(choose(n,k))) # logs don't like 0 or neg numbers
return((ramanujan(n) - ramanujan(k) - ramanujan(n-k)))
})
# Check that choose function works
n <- seq(10, 100, 10)
k <- seq(5, 50, 5)
c_real <- log(choose(n, k))
c_approx <- log_nck(n, k)
# If we print them, they appear to match
print(c_real)
print(c_approx)
# and the difference shows pretty small errors.
print(c_real - c_approx)
3) переписать функция вероятности с использованием журнала выбора.
new_probability <- function(s, m, n) {
# Probability of getting less than s
i <- 0:((s-1-n) / m)
c1 <- log_nck(n, i)
c2 <- log_nck(s - 1 - i * m, n)
seq <- (-1)^i * exp(c1 + c2)
return(m^(-n) * sum(seq))
}
Окончательное тестирование
n <- 1:90 # number of dice
m <- 6 # number of sides
s <- floor(mean(1:m)*n) # sum of faces
p <- mapply(probability, s = s, m = m, n = n)
newp <- mapply(new_probability, s = s, m = m, n = n)
plot(n, p, main = "Original in black, approximation in red")
points(n, newp, col = "red")