Вращение вектора в 3D

Question

У меня есть две точки, A и B, в трехмерном пространстве, и я знаю величину и направление вектора AB (в координатах x, y, z). У меня есть сила F в точке А, и я знаю ее величину и направление. Я могу разрешить эту силу в силу вдоль линии AB , обозначенной F_par_AB , получив точечное произведение между силой в точке A и единичным вектором AB , и, следовательно, знать эту величину и направление. Сила, перпендикулярная AB , обозначаемая F_perp_AB , затем определяется путем сложения векторов ( F_par_AB + F_Perp_AB = F ).

Моя проблема в том, что я хочу разрешить F_perp_AB на два компонента, давайте назовем их vec1 и vec2 , которые оба ортогонально друг другу и ортогонально AB . Я думаю, что это может быть достигнуто с помощью некоторого вращения вектора, где я создаю новую систему координат x'y'z '. Я определяю x 'как направление AB , y' как направление vec1 и z 'как направление vec2 . Зная направление AB в исходной системе координат xyz, возможно ли сделать какое-то вращение, чтобы я мог разрешить общую силу F в силу вдоль x '(которая находится вдоль AB и сила в этом направлении известна), y 'и z'?

Спасибо

Answer 1

Совокупное произведение двух векторов по определению перпендикулярно обоим векторам (при условии, что векторы не параллельны)

В математике перекрестное произведение или векторное произведение (иногда направленное произведение площади, чтобы подчеркнуть значимость геометрии c) - это двоичная операция над двумя векторами в трехмерном пространстве (R 3), перекрестное произведение a × b (читается как «крест b» ), является вектором, который перпендикулярен как a, так и b и, следовательно, перпендикулярен плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике, технике и компьютерном программировании. Его не следует путать с точечным произведением (проекционным произведением).

Если два вектора имеют одинаковое направление (или имеют строго противоположное направление друг от друга, т.е. не являются линейно независимыми) или если один из них имеет ноль длина, тогда их перекрестное произведение равно нулю.

Таким образом, третий перпендикулярный вектор является просто перекрестным произведением AB и F_perp_AB и по определению является перпендикулярным для них обоих. Таким образом, он определяет трехмерную систему координат.

Тогда вы также можете нормализовать, чтобы иметь единицу длины и так далее, если хотите.

ОБНОВЛЕНИЕ: Я ищу разрешить F_perp_AB в два вектора, которые перпендикулярны друг другу, а также вектору AB .

. В этом случае вы можете взять любой случайный фактор, перпендикулярный AB, и найти двойной перпендикуляр к нему, вычитая прогнозы на АБ и тд.

Например, вы всегда можете выбрать 1-й вектор как F_perp_AB, а другой вектор - перпендикулярно обоим (например, кросс-произведение). На это нет однозначного ответа, любая комбинация действительна без каких-либо других критериев, ограничивающих выбор.

Совокупное произведение - это общий способ построения перпендикулярного вектора из 2 векторов.

ПРИМЕЧАНИЕ Нет никакой причины, учитывая, что перекрестное произведение F_perp_AB и AB (назовем его ZZ) не может быть вычислено, чтобы дать 3-ю ось и разрешить F по этим 3 осям (F будет иметь нулевые координаты на 3-й оси ZZ но опять же нет единственного решения, это приемлемое решение). Любое случайное вращение может быть выполнено для векторов F_perp_AB и ZZ, и это даст другую эквивалентную трехмерную систему координат, где F НЕ будет иметь нулевые координаты на 3-й оси. Не существует уникального решения без дополнительных критериев.

A связанный пост по физике.se