Вам нужно использовать ViewState или Sessions, чтобы сохранить переменную и использовать ее повторно, это будет выглядеть примерно так:
private void Page_Load()
{
//If page is not being loaded for first time then set the value another
//option would be to check if ViewState["dropdownvalue"] == null and if
//not then set the value
if (Page.IsPostBack)
{
DropDownList1.SelectedValue = ViewState["dropdownvalue"]
}
}
protected void Submit_Click(object sender, EventArgs e)
{
ViewState["dropdownvalue"] = DropDownList1.SelectedValue;
// Do everything else
}