Попробуйте что-то вроде этого:
<froala
v-model="note"
:tag="'textarea'"
:config="config"
ref="froalaFocus"
>
</froala>
...
this.$refs.froalaFocus.focus()
вам может понадобиться использовать $el
примерно так: this.$refs.froalaFocus.$el.focus()
возможно копать немного глубже (ваш ref может быть массивом, в этом случае вам нужно найти элемент, на котором вы хотите сосредоточиться.